Направления исследований кафедры

Научные исследования проводятся  в рамках научно–педагогической щколы «Аналитические и численные методы решения уравнений математической физики»,  организованной на кафедре в 1983 г. Организатором и бессменным руководителем  школы является д.ф.м.н., профессор И.В. Бойков.

2008 год

2010 год

По результатам исследований защищено 17 кандидатских диссертаций (руководитель д.ф.-м.н., профессор И.В. Бойков).

ОСНОВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ ИССЛЕДОВАНИЙ КАФЕДРЫ: 

1. Приближенные методы решения сингулярных и гиперсингулярных уравнений.
Предложены и обоснованы проекционные методы решения линейных и нелинейных сингулярных, полисингулярных и многомерных сингулярных интегральных уравнений на различных классах функций. Рассмотрены уравнения на замкнутых и разомкнутых контурах. Для линейных сингулярных интегральных уравнений построены оптимальные по точности (по порядку) методы решения. Предложены и обоснованы приближенные методы решения линейных гиперсингулярных интегральных уравнений. Полученные результаты применены при решении ряда задач электродинамики.
Результаты исследований частично отражены в работах:
Бойков И.В. Приближенные методы решений сингулярных интегральных уравнений. Пенза: Изд-во ПГУ. 2004. 316 с.
Бойков И.В., Пивкина А.А. Приближенные методы решения вырожденных сингулярных интегральных уравнений // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2023. № 1 (65). С. 15-27.
Boykov I.V., Boykova A.I., Potapov A.A., Rassadin A.E. Approximate methods for solving hypersingular integral equations on fractals // В сборнике: Springer Proceedings in Complexity. 14th. Сер. "14th Chaotic Modeling and Simulation International Conference" 2022. С. 81-95.
Бойков И.В., Кудряшова Н.Ю., Шалдаева А.А. К вопросу о разрешимости полисингулярных интегральных уравнений в вырожденных случаях // В сборнике: Математическое и компьютерное моделирование естественно-научных и социальных проблем. Материалы XIV Международной научно-технической конференции молодых специалистов, аспирантов и студентов. Под редакцией И.В. Бойкова. 2020. С. 12-18.
Пивкина А.А., Бойков И.В. Программа для приближенного решения сингулярного интегрального уравнения Амбарцумяна сплайн-коллокационным методом со сплайнами нулевого и первого порядков // Свидетельство о регистрации программы для ЭВМ RU 2022616628, 15.04.2022. Заявка от 04.04.2022.
Игумнова В.В., Кудряшова Н.Ю. Приближенные методы решения сингулярных интегральных уравнений на отрезках // В сборнике: Математическое и компьютерное моделирование естественно-научных и социальных проблем. материалы XVI Всероссийской с международным участием научно-технической конференции молодых специалистов, аспирантов и студентов. Пенза, 2022. С. 72-77.

2. Оптимальные методы вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов.
Предложены методы построения оптимальных, асимптотически оптимальных по порядку (по точности и сложности) методов вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов. Оптимальные квадратурные формулы получены для одномерных и гиперсингулярных интегралов на различных классах функций. Рассмотрены и адаптивные методы вычисления.
Результаты исследований частично отражены в работах:
Бойков И.В. Приближенные методы вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов. Часть первая. Сингулярные интегралы. Пенза: Изд-во ПГУ. 2005. 360 с.
Бойков И.В. Приближенные методы вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов. Часть вторая. Гиперсингулярные интегралы. Пенза: Изд-во ПГУ. 2009. 252 с.
Бойков И.В., Айкашев П.В. Приближенные методы вычисления гиперсингулярных интегралов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2021. № 1 (57). С. 66-84.
Бойков И.В., Бойкова А.И. Об одном методе построения квадратурных формул для вычисления гиперсингулярных интегралов // Сибирский журнал вычислительной математики. 2022. Т. 25. № 3. С. 249-267.

3. Теория аппроксимации.
Исследованы методы наилучшей аппроксимации ряда классов функций, к которым принадлежат решения эллиптических уравнений, слабосингулярных, сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений. Эти классы состоят из функций, определенных в конечных областях, имеющих ограниченные производные до r-го порядка в замкнутой области и производные до s-го порядка (s>r) во внутренних точках областей, причем модули производных q-го порядка s≥q>r растут как степенные функции от обратной величины расстояние от точки до границы области. Оценены поперечники Колмогорова и Бабенко указанных классов функций. Построены сплайны, являющиеся наилучшим по порядку методом приближения этих классов функций.
Результаты исследований частично отражены в работе Бойков И.В. Оптимальные методы приближения функций и вычисления интегралов. Пенза: Изд-во ПГУ. 2007. 236 с.
Бойков И.В., Бойкова А.И. Теория приближения. Часть 1 : Учебное пособие. Изд-во ПГУ, 2023, 116 с.
 

4. Аналитические и численные методы идентификации параметров динамических систем.
Исследуются аналитические и численные методы идентификации параметров динамических систем, описываемых  обыкновенными дифференциальными уравнениями, уравнениями в частных производных, линейными и нелинейными уравнениями в свертках. Исследуются итерационные методы восстановления входных  сигналах в системах с искажениями (зашумление, аберрация и т.д.).
Исследуются методы одновременного восстановления входных сигналов и аппаратных функций в динамических системах, описываемых уравнениями в свертках.

5.  Приближенное решение прямых и обратных задач гравиметрии.
Работа проводится в следующих направлениях:
1) исследуется гладкость потенциальных полей, создаваемых различными тяготеющими массами в различных областях, и определяются классы функций, к которым принадлежат потенциальные поля,
2) строятся оптимальные, асимптотически оптимальные и оптимальные по порядку методы аппроксимации потенциальных полей, принадлежащих различным классам функций;
3) исследуются численные методы решения уравнений в свертках;
4) строятся оптимальные методы трансформации потенциальных полей. В основу построения положены оптимальные методы вычисления гиперсингулярных интегралов;
5) разрабатываются приближенные методы продолжения потенциальных полей на плоскости и в пространстве;
6) разрабатываются проекционные и проекционно-итерационные методы решения обратных задач логарифмического и ньютоновского потенциалов в линейной и нелинейной постановках.

6.  Математические модели иммунологии.
Исследуется устойчивость математических моделей иммунологии, описывающих иммунный ответ организма на различных заражениях. Рассматриваются базисная (основная) модель и модели иммунного ответа на вирусные и бактериальные заболевания, предложенные Г.И.Марчуком, при следующих обобщениях:
а) параметры систем зависят от времени;
б) введены логистические слагаемые, учитывающие конкуренцию между антигенами и ограниченные ресурсы  организма;
в) рассматриваются модели, распространенные в пространстве.

7.  Математические модели медицины.
Исследуются методы дискретной идентификации состояния костной массы пациента, основанные на обработке и анализе графических изображений, получаемых с помощью денситометров. Методы основаны на вычислении площадей (в пикселах) различных цветовых областей изображения. Применение данных методов даст возможность оценить масштабы пораженных областей и областей с различным отклоняющимся от нормы уровнем плотности костной ткани, а также прогнозировать динамику развития и лечения заболевания. 
Исследования проводятся совместно с кафедрой "Педиатрия" ПГУ.

8. Устойчивость решений дифференциальных уравнений. 
Исследуется устойчивость решений систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздываниями, систем параболических и гиперболических уравнений. Рассматриваются методы стабилизации перечисленных выше уравнений. Рассматриваются системы уравнений с дробными производными.

Перечень тем и краткая аннотация завершённых проектов

Грант РФФИ 16-01-00594 «Аналитические и численные методы решения гиперсингулярных интегральных уравнений и их применение к численному моделированию прямых и обратных задач рассеяния волн в неоднородных средах». 2016 – 2018. 1 600 000 р.

Построена теория гиперсингулярных интегральных уравнений первого и второго рода - найдены условия разрешимости, определено число линейно-независимых решений. Для характеристических уравнений первого рода получены представления решений. Разработаны методы нахождения в аналитическом виде решений сингулярных, гиперсингулярных, полисингулярных и полигиперсингулярных интегральных уравнений с аналитическими коэффициентами. Предполагается, что уравнения заданы на гладких замкнутых многообразиях. Показано, что гиперсингулярные интегральные уравнения эквивалентными преобразованиями трансформируются в обыкновенные дифференциальные уравнения, а полигиперсингулярные интегральные уравнения - в уравнения в частных производных.
Построены и обоснованы проекционные методы решения гиперсингулярных интегральных уравнений первого рода с решениями: а) обращающими в нуль на концах сегмента интегрирования, б) обращающимися в бесконечность на концах сегмента интегрирования, в) обращающимися в нуль на одном конце сегмента интегрирования и в бесконечность - на другом.
Построены и обоснованы сплайн-проекционные методы (со сплайнами нулевого и первого порядков) решения линейных и нелинейных гиперсингулярных интегральных уравнений, полигиперсингулярных интегральных уравнений и многомерных гиперсингулярных интегральных уравнений, определенных на замкнутых и разомкнутых областях. Построен новый итерационный метод решения нелинейных гиперсингулярных интегральных уравнений, не требующий обратимости производной нелинейного оператора.
Построены оптимальные по порядку по точности методы аппроксимации функций, принадлежащих весовым пространствам Соболева с различными весами. Построены оптимальные по порядку по точности методы аппроксимации классов функций, к которым принадлежат решения параболических уравнений.
Построены оптимальные по порядку по точности кубатурные формулы вычисления многомерных интегралов на весовых пространствах Соболева.
Построены оптимальные по порядку квадратурные и кубатурные формулы вычисления гиперсингулярных и полигиперсингулярных интегралов с быстроосциллирующими ядрами.
Предложена обобщенная постановка обратной задачи гравиразведки: располагая информацией о значениях поля силы тяжести на трех различных уровнях, необходимо одновременно восстановить форму возмущающего тела, его плотность и глубину залегания.
Рассмотрены обобщенные обратные задачи гравиразведки, магниторазведки и электроразведки при различных видах информации. Для решения этих задач разработаны аналитические и численные методы.
Для численного решения нелинейных обратных задач гравиразведки и нелинейных гиперсингулярных интегральных уравнений разработаны модификации непрерывного операторного метода. В частности, непрерывный операторный метод распространен на метод Зейделя.
Построены методы идентификации параметров нестационарных динамических систем с распределенными параметрами. Исследованы методы определения функционалов Вольтерра в нелинейных нестационарных динамических моделях типа "черный ящик".
Разработанные методы идентификации используются при построении алгоритмов восстановления входных сигналов динамических систем с распределенными параметрами. Даны приложения разработанных алгоритмов к восстановлению входных сигналов информационно--измерительных систем при термоударе.
Разработаны алгоритмы и программы идентификации диктора по парольной фразе.
При выполнении проекта проводилось исследование фрактальных антенн в нескольких постановках.
Первая постановка заключается в том, что элементарные излучатели расположены в узлах фрактала. Разработаны численные методы определения входного сигнала такого, что диаграмма направленности имеет заданную форму, а входной сигнал удовлетворяет заданным ограничениям.
Вторая постановка заключается в исследовании электродинамических свойств фрактальных антенн заданной конструкции.
Проведен анализ влияния топологии фрактальных антенн на электродинамические характеристики. Показана возможность синтеза фрактальных антенн на основе численных методов.


Грант РФФИ 94-01-00653-а  «Оптимальные методы вычисления сингулярных интегралов, решение сингулярных интегральных уравнений и их применение к обратным задачам гравиметрии и к идентификации» 1994–1996.
Разработаны оптимальные по точности и сложности методы вычисления сингулярных интегралов с фиксированными и переменными особенностями. Предложены и обоснованы сплайн-коллокационные методы решения одномерных, полисингулярных и многомерных сингулярных интегральных уравнений на различных многообразиях и на различных классах функций.
Исследовано применение методов краевых задач Римана и Гильберта и метода  сингулярных интегральных уравнений к идентификации динамических систем и одновременному восстановлению входных сигналов и аппаратных функций. Предложены итерационные методы решения обратных задач логарифмического потенциала и ньютоновского потенциала.

Государственный комитет по высшему образованию. Грант по фундаментальным исследованиям в области автоматики и телемеханики, астрономии, связи.  «Аналитические и численные методы определения динамических характеристик». 1996–1997.
Исследовались методы идентификации динамических систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями и интегральными уравнениями Вольтерра. Получены следующие результаты:
а) предложен метод точного восстановления импульсной переходной функции линейной динамической системы по двум входным сигналам;
б) предложен метод точного восстановления импульсной переходной функции нелинейной динамической системы со степенными нелинейностями  го порядка по  входным сигналам;
в) предложены новые приближенные методы восстановления импульсных переходных функций линейных и нелинейных динамических систем со сосредоточенными пераметрами;
г) предложены аналитические и численные методы восстановления входных сигналов и передаточных функций динамических систем с переменной структурой.
Предложены численные методы, основанные на краевой задачи Римана и теории сингулярных интегральных уравнений, одновременного восстановления импульсной переходной функции и входного сигнала в линейных динамических системах, описываемых одномерными и многомерными интегральными уравнениями Фредгольма и Вольтерра.

Грант РФФИ «Оптимальные методы вычисления гиперсингулярных интегралов, решение сингулярных интегральных уравнений и их применение к геофизике» 1997 -2002.
При выполнении проекта были получены следующие результаты. Предложены и обоснованы сплайн–коллокационные методы решения многомерных сингулярных интегральных уравнений. Предложены и обоснованы приближенные методы решения сингулярных и бисингулярных интегральных уравнений в исключительных случаях. Построены оптимальные по точности методы вычисления одномерных и многомерных гиперсингулярных интегралов с фиксированными особенностями. Методами сингулярных интегральных уравнений решена задача продолжения потенциальных полей на плоскости. Методами интегральных уравнений с интегралами типа Коши решена задача продолжения потенциальных полей в пространстве. Построены вычислительные схемы и решены модельные примеры, иллюстрирующие эффективность предложенных алгоритмов для продолжения потенциальных полей и локализации источников полей на плоскости и в пространстве. Полученные результаты частично отражены в работах:
Бойков И.В. Приближенные методы решений сингулярных интегральных уравнений. Пенза: Изд-во ПГУ. 2004. 316 с.
Бойков И.В. Приближенные методы вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов. Часть первая. Сингулярные интегралы. Пенза: Изд-во ПГУ. 2005. 360 с.
Бойков И.В. Приближенные методы вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов. Часть вторая. Гиперсингулярные интегралы. Пенза: Изд-во ПГУ. 2009. 252 с.

Государственный комитет по высшему образованию. Грант по математике «Пассивные и адаптивные методы вычисления сингулярных интегралов» 1998 -2002.
Предложен общий метод получения оценок снизу при приближенном вычислении интегралов с особенностями, зависящими от разности аргументов. Построены оптимальные по точности и сложности квадратурные и кубатурные формулы вычисления слабосингулярных и сингулярных интегралов с различными особенностями, на различных контурах и на различных классах функций. Кроме того, для вычисления слабосингулярных и сингулярных интегралов с различными особенностями, на различных контурах и на различных классах функций построены адаптивные методы, которые на каждом шаге алгоритма учитывают информацию о результатах вычислений, полученных на всех предыдущих шагах.

Грант РГНФ «Устойчивость развивающихся систем (приложения к экономике,  экологии, социальным наукам)» 2001 -2003. Объем - 300 000 р.
Разработаны новые критерии исследования устойчивости и стабилизации нелинейных развивающихся систем экономики, экологии и в области социальных наук. Разработаны новые критерии  исследования устойчивости и  стабилизации нелинейных дифференциальных  уравнений в частных производных и интегральных уравнений Вольтерра. Эти критерии применены к исследованию устойчивости и стабилизации (без линеаризации) моделей Хотеллинга,  Скеллама ( по динамике популяции) и Пу ( по динамике производства), описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями в частных  производных; к исследованию устойчивости многопродуктовых динамических моделей в экономике, описываемых новым классом интегральных уравнений Вольтерра и к ряду других моделей в экономике, экологии и социальных  науках. Получен ряд новых качественных эффектов. Разработаны новые приближенные методы исследования динамических моделей экономики и экологии.

НИР по заданию Федерального агенства по образованию на проведение научно исследоват-ельских работ. Тема НИР «Оптимальные методы вычисления гиперсингулярных интегралов, решения гиперсингулярных интегральных уравнений и их применение к задачам аэродинамики, электродинамики и геофизики» 2005 -2009. Объем - 1 275 182 р.
Построены асимптотически оптимальные и оптимальные по порядку (по точности) методы вычисления одномерных и многомерных гиперсингулярных интегралов, полигиперсингулярных интегралов. Введен новый класс многомерных гиперсингулярных интегралов, возникающий при исследовании задач механики композитных материалов и многослойных пластин. Предложены и обоснованы приближенные методы решения гиперсингулярных интегральных уравнений следующих видов:
а) одномерных гиперсингулярных интегральных уравнений на разомкнутых контурах с сингулярно-стями целых и дробных порядков;
б) линейных и нелинейных одномерных гиперсингулярных интегральных уравнений на замкнутых контурах интегрирования;
в) линейных и нелинейных гиперсингулярных интегро-дифференциальных уравнений на замкнутых контурах интегрирования;
г) линейных полигиперсингулярных интегральных уравнений;
д) линейных и нелинейных многомерных гиперсинулярных уравнений.
Предложен новый метод вычисления трансформаций потенциальных полей, в основу которого положена интерпретация трансформаций как гиперсингулярных интегралов. Построены оптимальные методы вычисления трансформаций потенциальных полей. Предложены эффективные методы вычисления многомерных интегралов типа Коши. Предложены и обоснованы численные методы продолжения трехмерных потенциальных полей, основанные на приближенном решении интегральных уравнений первого рода с многомерными интегралами типа Коши. Предложены и обоснованы численные методы продолжения потенциальных полей, основанные на методах теории аппроксимации и разностных схемах. Исследовано применение гиперсингулярных уравнений к моделированию электрических вибраторов передающих антенн. Исследовано применение гиперсингулярных интегральных уравнений к моделированию динамических процессов в волноводах.

НИР по заданию Федерального агенства по образованию на проведение научно исследовательских работ. Тема НИР "Аналитические и численные методы исследования динамических процессов в биосистемах и физической кинетике" 2010–2011. 630 000 р. 
Исследовалась устойчивость математических моделей, в биосистемах и физической кинетике.
Получены критерии устойчивости и асимптотической устойчивости решений простейшей (базисной) модели иммунологии, предложенной Г.И.Марчуком, при следующих обобщениях;
а) введены логистические слагаемые, учитывающие конкуренцию антигенов при остром развитии заболевания;
б) введены коэффициенты, учитывающие эффекты насыщаемости и ограниченность ресурсов организма;
в) параметры системы зависят от времени.
Получены критерии устойчивости и асимптотической устойчивости математических моделей вирусных и бактериологических заражений, предложенной Г.И.Марчуком, при следующих обобщениях:
а) параметры системы зависят от времени;
б) введены логистические слагаемые.
Проведено численное моделирование обобщенных моделей. Проведено численное моделирование влияния различных терапий на течение единичных и хронических заболеваний.
Исследована устойчивость математических моделей экологии, обобщающих классические модели Вольтерра.
Получены критерии устойчивости атомных реакторов.

НИР по заданию Федерального агенства по образованию на проведение научно-исследовательских работ. Тема НИР "Численные методы анализа прямых и обратных задач переноса излучения на наноструктурах" 2012–2013. 630 000 р. 
Исследована устойчивость решений систем параболических и гиперболических уравнений, определенных в различных областях и при различных граничных условиях. Разработаны приближенные методы решения некоторых классов линейных и нелинейных уравнений математической физики на фракталах. Полученные результаты применяются к решению прямых и обратных задач переноса излучения на наноструктурах .